Comment obtenir le polynôme de Lagrange ?

bonjour,

Je joins un fichier excel contenant des données simples.

Excel en ligne, à partir de ces données d'entrée sur 2 colonnes X et Y:

-calcule

-établit une interpolation en X

-établit une interpolation en Y

-établit la trajectoire finale

Seulement,dans les feuilles interpolation en X et interpolation en Y,aucun polynôme de Lagrange n'apparaît.

(Il y a longtemps,ça marchait (je ne sais plus comment)dans Excel pas en ligne)

Avez-vous une solution?

merci de votre aide

Salut Garpilo,

l'archi-nul en math a trouvé cela sur Google qui, à l'inverse des maths, est mon ami !

A+

je n'y arrive toujours pas !

besoin de quelques explications écrites

AH, ça, de ma part, n'attends rien : en dehors d'une boucle FOR, les x et y me donnent des boutons !

Bon travail, quand même !

A+

Bonjour

Garpilo a écrit :

(Il y a longtemps,ça marchait (je ne sais plus comment)dans Excel pas en ligne)

Qu'est-ce qui ne fonctionne pas ? chez moi, ton fichier est impeccable. Les polynômes sont bien là .. les courbes passent bien pas les 4 points x et y (courbe coeff n-1 = 3) et courbe finale ci-dessous.

Quelle est ta version d'excel ? Es-tu sous 365 ?

edit : bonjour curulis ... un site intéressant par ailleurs http://www.danielroux.fr/bibliovba/telechargement.php

j'utilise excel en ligne.

La courbe est obtenue mais le polynôme d'interpolation de Lagrange.

Comment faire pour l'obtenir?

Salut à tous,

Superbe pépite ce site Steelson, merci !

Bon, pour calculer les coefficients, ce n'est pas simple ... quelqu'un a écrit :

... méthode simplifiée dans le cas d'abscisses équipotentes ( xi+1-xi=1 quelque soit i ) qui donne directement le coefficient n du terme d'exposant le plus élevé, puis les précédents un à un, n-1 puis n-2 ...,1,0) par retranchement du monôme trouvé débord, de degré plus élevé, et réitération du procédé en descendant d'un degré à chaque fois. ceci se fait grâce au triangle de Pascal où on a alterné les signes ( +1-1, +1-2+1, +1-3+3-1, 1-4+6-4+1, etc ), et en faisant la somme des produits associés ( ex pour 3 points donnés : s=(x1*+1)+(x2*-2)+(x3*+1)), suivi d'une simple division par la factorielle du degré ( ici 2 ). Puis il s'agit de retrancher les valeurs données par le monôme ainsi trouvé des données initiales et de réitérer l'opération pour trouver le coefficient du monôme de degré de 1 inférieur ( n-1 ) et ainsi de suite jusqu'au degré 0 ( terme constant ).

si cela peut aider ...

Je n'ai jamais vu d'application numérique pour calculer les coefficients de la fonction de régression. Le calcul se base toujours sur les polynômes de Lagrange eux-mêmes. C'est de cette manière que les calculs sous excel sont faits. Dans ton fichier, il s'agit des 4 colonnes.

et

Mais tu peux t'amuser à en extraire les coefficients en redécomposant la formule suivante ... sur 4 points c'est encore faisable !

ou tu peux les approximer avec une droite de régression d'ordre n-1 comme ici ...

c'est une commande simple à faire sur Excel mais j'ai oublié laquelle !!

Geogebra sait le faire

Je suis curieux de la connaître alors !

Edit : Je vais regarder de mon côté dans le cas d'abscisses équipotentes de progression 1, qui est le cas ici pour x et y

Les coef x3 et x0 (constante) sont faciles à calculer

=Y1/((X1-X2)*(X1-X3)*(X1-X4))+Y2/((X2-X1)*(X2-X3)*(X2-X4))+Y3/((X3-X1)*(X3-X2)*(X3-X4))+Y4/((X4-X1)*(X4-X2)*(X4-X3))

et

=-(Y1*X2*X3*X4)/((X1-X2)*(X1-X3)*(X1-X4))-(Y2*X1*X3*X4)/((X2-X1)*(X2-X3)*(X2-X4))-(Y3*X1*X2*X4)/((X3-X1)*(X3-X2)*(X3-X4))-(Y4*X1*X2*X3)/((X4-X1)*(X4-X2)*(X4-X3))

attention les x et y ci-dessus sont ceux de l'équation !

.

cela donne ceci

pour x du problème

pour y du problème

il reste à faire les coeff pour les puissances 2 et 1

Bonjour,

Garpilo a écrit :

c'est une commande simple à faire sur Excel mais j'ai oublié laquelle !!

tu as raison, il suffit de décomposer la formule, c'est un exercice d'algèbre d'un niveau moyen

ce qui donne ceci (fait en une heure) :

4 points

y=a.x^3+b.x^2+c.x+d

a=y1/((x1-x2)*(x1-x3)*(x1-x4))+y2/((x2-x1)*(x2-x3)*(x2-x4))+y3/((x3-x1)*(x3-x2)*(x3-x4))+y4/((x4-x1)*(x4-x2)*(x4-x3))

b=-y1*(x2+x3+x4)/((x1-x2)*(x1-x3)*(x1-x4))-y2*(x1+x3+x4)/((x2-x1)*(x2-x3)*(x2-x4))-y3*(x1+x2+x4)/((x3-x1)*(x3-x2)*(x3-x4))-y4*(x1+x2+x3)/((x4-x1)*(x4-x2)*(x4-x3))

c=y1*(x2*x3+x2*x4+x3*x4)/((x1-x2)*(x1-x3)*(x1-x4))+y2*(x1*x3+x1*x4+x3*x4)/((x2-x1)*(x2-x3)*(x2-x4))+y3*(x1*x2+x1*x4+x2*x4)/((x3-x1)*(x3-x2)*(x3-x4))+y4*(x1*x2+x1*x3+x2*x3)/((x4-x1)*(x4-x2)*(x4-x3))

d=-(y1*x2*x3*x4)/((x1-x2)*(x1-x3)*(x1-x4))-(y2*x1*x3*x4)/((x2-x1)*(x2-x3)*(x2-x4))-(y3*x1*x2*x4)/((x3-x1)*(x3-x2)*(x3-x4))-(y4*x1*x2*x3)/((x4-x1)*(x4-x2)*(x4-x3))

d'où l'application à tes données :

mais je ne comprends toujours pas l'intérêt de calculer formellement ces coefficients

• d'une part cette méthode est rigide, il faut la recommencer pour chaque nombre différent de valeurs (ici n=4)
• la formulation lagrangienne de base se prête parfaitement à un algorithme

    Som = 0
    For i = 1 To n
    Prod = 1
        For j = 1 To n
            If j = i Then
            Else
               Prod = Prod * (Var - x(j)) / (x(i) - x(j))
            End If
        Next j
        Som = Som + y(i) * Prod
    Next i