Système de 2 équations 2 inconnues avec variable
Bonjour, après moults tentatives pour résoudre mon problème, j'atterris ici.
Mon problème est simple, mais le fond est compliqué.
Pour ceux qui ne veulent pas se prendre la tête :
Je dois résoudre le problème suivant :
Racine( X'^2 + Y'^2) = Une valeur connue qui dépends de mes calculs précédents (pour l'exemple, disons 2.23)
X'/Y' = X/Y X et Y étant aussi des valeurs connues qui dépendent de mon étude. (disons que la relation vaut -1)
Pour la petite explication, j'ai une distance D et un segment S, et je voudrais trouver un point qui part d'un bout du segment S, et créerait donc un second segment dont la taille serait égale à D et qui partagerait le même "départ" que S tout en lui étant parallèle.
Autrement présenté, j'ai un vecteur avec des coordonnées et une norme connue, et je voudrais trouver un vecteur colinéaire à ce dernier avec une norme D.
Sautez directement jusqu'à "ce que j'ai tenté" pour la suite.
Pour ceux qui veulent se prendre la tête :
Je suis dans une licence pro industrielle et je dois rendre un projet tuteuré d'ici peu.
Ce dernier est simple, il consiste à programmer quelque chose pour permettre d'aligner des machines à l'aide d'un appareil de mesure. (Excel convient très bien à mon prof)
Par exemple, si on utilise un théodolite, ce dernier est capable de donner des coordonnées à un point, en prenant plusieurs points sur plusieurs machine, je suis capable de visualiser les machines dans l'espace, et je dois me montrer capable de les aligner, en donnant de nouvelles coordonnées à ces machines.
Maintenant, visualisez 2 cubes, ces cubes, ce sont nos machines, disons Ma1 et Ma2, si on prends une des arrêtes supérieure de Ma1, qu'on lui colle des points A1 et B1 à chaque extrémité, on obtient un segment A1B1.
On fais de même avec les points A2 et B2 pour le segment A2B2 sur Ma2.
PS : on connais bien entendu les coordonnées de A1, B1, A2, B2.
Je vous passe les détails technique, mais en prenant en compte le fait que la taille de ces segments peut varier librement, si j'arrive à positionner A2B2 sur A1B1, de façon à ce qu'ils soient parallèles et centrés (ou qu'ils partagent le même milieu), alors je pourrais dire que mes machines sont alignées.
Et c'est la que je coince.
Je cherche donc les nouvelles coordonnées de A2B2 pour satisfaire mes exigences, je nommerais ces nouveaux points A3 et B3.
Si je prends les milieu de mes segments, disons m1, m2 et m3, et qu'on travaille en vecteur, il faudrait trouver des coordonnées pour m3A3 telles ||m2A2|| = ||m3A3|| et : m1A1 soit colinéaire à mon vecteur m3A3, alors :
On pourrait trouver à l'aide de m3A3 les coordonnées d'un point A3 qui correspondrait à mes attentes, on ferait de même pour B3, et le segment A3B3 ainsi crée serait l'équivalent de A2B2, mais placé parallèle à A1B1 et avec m3 = m1.
Résolvant ainsi mon problème.
On en revient donc au système cité plus haut :
Racine( X'^2 + Y'^2) = ||m2A2||
X'/Y' = X/Y avec X;Y coordonnées de m1A1
Et bien sur, X' et Y', mes inconnues, coordonnées de m3A3.
Ce que j'ai tenté :
J'ai essayé de résoudre le système avec des matrices, la fameuse formule
ax + by = c Donc [a b] * [x] = [c]
dx + ey = f [c d] [y] = [f]
Si on prends A pour la première matrice, X pour la seconde et Y pour la troisième, on peut écrire :
A^-1 * Y = X, ce qui donnerait le résultat, mais impossible de trouver des a, b, c, d qui conviennent.
J'ai alors essayé la fonction solveur, qui semble marcher plutôt bien, tant que X' et Y' on des valeurs positives... Ce qui sera bien entendu rarement le cas...
Après pas mal de tentatives pour tourner ça dans tous les sens, je suis à court d'idée. Peut-être que j'utilise mal les matrices, ou encore le solveur. (pour les matrices c'est un pote qui m'a aidé et pour le solveur j'ai cherché sur internet)
Donc voila, je suis tellement à court d'idées que c'est la première fois que je viens poster sur un forum pour chercher de l'aide, si l'un d'entre vous pourrait ne serait-ce que m'aiguiller, je lui en serais éternellement reconnaissant.
Je vous joint mon bout de fichier pour une meilleure compréhension.
PS : les coordonnées choisies sont volontairement choisies pour un cas qui se visualise facilement sur du papier.
D'ailleurs les coordonnées de X' et Y' sont des approches de la solution.
Cordialement, Asuriel.
bonjour
si je prends ton calcul
Racine( X'^2 + Y'^2) =A
X'/Y' =B
tu as donc
Y'=X'/B
et donc
Racine( X'^2 + (X'/B)^2) =A
X'^2 + (X'/B)^2 =A^2
X'^2*(1+1/B)=A^2
X'^=A/ racine (1+1/B)
X'^=A/ racine (1+1/B)
Mais comment on fais si B, donc X'/Y' = -1 ?
Parce que ça peut totalement être le cas en application : /
D'ailleurs si on prends X = 1 et Y = -1 comme coordonnée, et qu'on cherche X' et Y' coordonnée d'un vecteur colinéaire au premier, mais de norme 2.2326168 machinchouette (cf mon fichier), la solution s'approche de X' = 1.58 et Y' = -1.58.
et donc ta formule devient caduque car B est alors égal à -1...
J'ai essayé sans succès de tourner ta formule en quelque chose qui ne contiendrais pas de valeur impossible, mais je n'y suis pas arrivé :/
re
tu as raison
reprenons ma formule presque finale
X'^2*(1+1/B)=A^2
alors
X'^2=A^2 / (1+1/B) à condition que (1+1/B) soit non nul (car on n'a pas le droit de diviser à gauche et à droite par zéro)
donc il faut étudier à part le cas (1+1/B) = 0 c'est à dire le cas B=-1
si B=-1, alors Y'=-X' et on a
Racine( X'^2 + (-X')^2) =A
Rac(2*(X'^2))=A
X=A^2/Rac2 (A étant une racine on le sait dès le départ, alors A>=0)
et
Y'=-A^2/Rac2
FIN du traitement de B=-1
si B<>-1 voir la solution dans mon premier message
Euréka ! ça marche ! je t'aime !
Bon par contre, si les coordonnées sont négatives, ça ne marche toujours pas, mais le problème est facilement résolu en plaçant le repère à partir duquel on va prendre nos mesure de façon à empêcher les valeurs négatives.
re
la solution ci-dessus devrait fonctionner dans tous les cas
exception : si la valeur expérimentale de A = Racine (...) est négative, auquel cas il n'y a pas de solution dans l'ensemble des nombres réels.
? ? ?
C'est ce que j'avais conclu, mais la résoultion de ce problème est assez simple, si les coordonnées de la machine 2 donnent des résultats impossible, il suffit de la déplacer pour obtenir des coordonnées qui permettront le calcul.
Ce qui en application est totalement faisable vu qu'on est censé positionner ladite machine et donc être capable de la déplacer à volonté.