Contruction géométrique et trigono
Bonjour les amis,
A partir d’un cercle de centre O, on cherche à réaliser la figure approximative suivante :
Pour ce faire, de manière expérimentale j’ai réalisé un heptagone (non représenté)
Le centre de chaque cercle se trouve sur la médiatrice de chaque côté. Plus facile à réaliser : il suffit de prolonger chaque côté des quartiers du polygone pour définir ces médiatrices (qui sont aussi les bissectrices de chaque triangle).
A partir de là il est facile de trouver de manière expérimentale le centre de chaque cercle souhaité.
Mon problème est de procéder de manière plus précise et surtout de manière paramétrée pour pouvoir étendre la formule à d’autres figures quel que soit le nombre de cercle inscrits et le rayon R initial.
Je subodore que le classeur joint est censé permettre d’établir ces calculs de manière précise à partir du rayon du cercle initial et du nombre de cercles (coté du polygone) souhaités.
The winner sera celui capable de formuler le diamètre de chaque cercle et la distance du centre de chaque cercle avec O en fonction des conditions précitées.
J’ai indiqué en F3 et G3 le rayon r et AO pour mon cercle expérimental (R = 120) bien sûr c’est juste une info pratique.
Vous avez 4 heures !
Cordialement.
A+
vous avez 4 heures ou 4 minutes ?
Salut Galopin,
On peut procéder directement avec un peu de trigonométrie :
Soit D la distance OA, r le rayon d'un petit cercle, et R le rayon du grand cercle. Puisque le petit cercle est tangent au grand, on a l'expression
R = D + r
Ensuite, les petits cercles sont disposés de manière équidistante sur le cercle de rayon OA = D. Ils sont séparés par un angle a = 2π/n , avec n = nombre de petits cercles.
A partir de là, on peut exprimer la distance entre 2 cercles consécutifs à l'aide d'une petite astuce. On note A le centre du premier cercle, et B le deuxième. On peut couper AB en 2 et utiliser l'expression du sinus de l'angle b = a/2 grace à l'angle droit. Dans ce cas on trouve
sin(2*π/n * 1/2) = AB/2 / D <=> AB = 2*D*sin(π/n)
Or, puisque les petits cercles sont tangents, il faut absolument vérifier AB = 2*r, de là l'expression
2*D*sin(π/n) = 2* r <=> r = D*sin(π/n)
De là il ne reste qu'à éliminer D dans l'équation, sachant D = R - r, et exprimer r en fonction de R
r = (R - r) * sin(π/n) <=> r = R*sin(π/n) / (1+sin(π/n))
On a trouvé r le rayon des petits cercles, il reste D la distance au centre, pour cela on a D = R - r
Bonjour,
BsAlv : 4 h c'est le temps qu'il m'a fallu pour essayer de formuler le pb d'une manière que j'estimais cohérente et vraisemblable.
77 ans, c'est mon age et j'ai passé presque 60 ans à résoudre des problèmes essentiellement comptable. C'est dire que je me suis dépêcher d'oublier tout ce qui concernait la trigo dont quelques bribes seulement arrivent encore à émerger du marais glauque de ma mémoire, le temps qui m'est désormais très comptée, ma disponibilité et mes capacités intellectuelles très réduites me semblaient bien obérer la réalisation de ce petit projet...
Quand je lis la facilité avec laquelle saboh expose sa manière de voir la chose, je comprend qu'il ne te faut sans doute pas plus de 4 minutes pour résoudre ce petit exercice.
Mais toussa n'est qu'un peu d'humour !
Cordialement
saboh12617 : Il faut que je penche sur ta prose. Une question cependant pour éviter de perdre du temps en recherches chronophages. Dans mes précédents travaux les personnes qui m'ont répondues formulaient leurs réponses dans Excel en passant par les radians.
Par exemple dans mon classeur la tangente est formulée comme suit :
=(2*A2)*SIN(RADIANS(D2)/2)
Est-ce une nécessité de passer par la fonction RADIANS pour formuler la trigo avec Excel ou peut-on utiliser directement les formules avec degrés ?
Même si je comprend à peu près tes explications, je me sens incapables de les traduire rapidement dans Excel. Peux-tu me fournir ces formules directement dans mon classeur au besoin en adaptant une ou deux lignes de calculs intermédiaires pour la résolution des équations.
Ces formules me sont nécessaires car le fondement de ma demande est d'utiliser ces formules pour obtenir une feuille paramétrée quelle que soit R et quel que soit le nombre de cercles. En effet j'ai utilisé un rayon de 120 et 7 cercles pour obtenir un rendu suffisamment précis et avoir une croquis pas trop difficile à faire dans la réalité R sera au maximum de 105 et le nombre de cercle sans doute plus important. Sans formules paramétrées ça risque d'être un casse-tête imbuvable...
Merci d'avance.
... Mais s'il faut 4 jours je prends quand même !
Bonjour à tous,
Est-ce une nécessité de passer par la fonction RADIANS pour formuler la trigo avec Excel ou peut-on utiliser directement les formules avec degrés ?
Soit sin(angle en radians), soit sin(radians(angle en degrés))
360°=2*pi()
sin(2*pi())=sin(radians(360))
Crdlmt
Bonjour,
C'est noté dan ma boite de ressources.
Merci DjiDji59430
A+
saboh : Je ne comprends pas
r = (R - r) * sin(π/n)
et
r = R*sin(π/n) / (1+sin(π/n))
reformulé dans le tableur cette dernière expression me donne
(A2*SIN(PI()/C2)/1+SIN(PI()/C2)) = 52.4999324 ce qui est faux : la méthode expérimentale me donne des cercles de 35 (env).
???
Merci
A+
Salut Galopin,
Pour la forme radians comme expliqué par djidji ça dépend lorsque l'on rentre les angles en degrés ou non, car excel lui n'accepte que des radians pour vos/sin etc.
Pour le classeur si ce n'est pas urgent/que quelqu'un ne le poste d'ici là, je t'envoie ça lundi matin 👍
Pour te donner une piste de résolution en attendant, tu reprends ma première formule pour le petit "r" : il suffit de la rentrer dans Excel en changeant π en PI(), et n par ta cellule contenant le nombre de petits cercles, et R par ton rayon extérieur. (Pas besoin de tangente)
Puis une fois ce résultat obtenu, tu peux récupérer la longueur D en rouge sur mon schéma avec D = R - r.
Sinon lundi je te l'envoie, Bon weekend !
Bonjour,
Je donne ici le résultat de mes laborieuses adaptations de tes formules. Cela correspond à mes observations.
Merci
A+
On trace le cercle qui passe par A et B. AC=AB/2 ==>AC=r alpha=2*pi()/n/2
sin(alpha)=AC/AO=r/AO or AO=R-r ==>sin(alpha)=r/(R-r) on connait alpha, on connait R ==>on va connaitre r
r=R*sin(alpha)/(1+sin(alpha))
Et on a pas tes resultats ! Parce que AO+Rayon ® =Rayon(R) ==>71+84 <>120
Voila a quoi j'arrive ce soir !
Bonjour à tous,
Félicitations @galopin c'est exactement ça !
Ci-après figure sur AutoCAD pour confirmer que le calcul est correct :
Encore merci
Bonne journée.
Bonjour à tous,
Peux tu dire d'ou tu sors tes résultats ?(en F3 =71) sur ton premier exemple.
Et, entre parenthèse, ma méthode (forcément !) me parait plus simple ......
Crdlmt
@Djidji je crois qu'on s'est mal compris, les résultats indiqués dans le premier fichier sont une estimation manuelle "incorrecte". Ta formule (qui est celle que j'ai proposé) est la solution adoptée par galopin ici.
Je demandais a galopin l'origine de ses mesures, lui qui vantait un peu a tort, me semble t il, ses "mesures expérimentales."
Et j'avoue avoir ete un peu perdu dans tes explications, ce qui fait que j'ai zappé quelques lignes -les plus importantes- bien entendu.
C'etait son 71 qui m'avait troublé ....
Crdlmt
Bonsoir,
Le 71 était en effet une coquille que j'ai corrigé effectivement dans le fichier final.
Ma méthode expérimentale c'est le dessin au compas sur une feuille A3 pour avoir un dessin le plus grand possible et une marge d'erreur minimum.
A+