Temps au bout duquel deux coûts s'égalisent ?

Bonjour,

Je fais appel à la communauté d'experts Excel pour un problème qui se pose à moi depuis quelques temps déjà.

Le contexte :

J'ai trois lampes. J'étudie l'évolution de leur coût (en euros) pour l'usager tout au long de leur cycle de vie.

Il y a donc un coût initial (l'achat) suivi de coût de consommation d'électricité.

Bien sûr, chaque lampe a un coût initial différent et une consommation électrique et donc un coût à l'usage différent.

Lorsqu'une lampe arrive à la fin de sa vie (constante), on en rachète une d'où les bonds de coût sur le schéma.

Le problème :

Je cherche à connaître le temps au bout duquel les lampes ont le même coût.

J'ai été obligé de passer par une méthode d'Euler et de calculer l'évolution du coût heure par heure pour pouvoir tracer ces fonctions. Ensuite, j'arrive à obtenir les abscisses où les coûts de chaque système s'égalise.

Franchement, c'est une méthode horriblement contraignante. Comment pouvoir la rendre plus flexible (sans passer par Euler mais plutôt equa diff ?) ?

Je pensais à poser une équation décrivant le coût de chaque système...mais laquelle ?

Je vous remercie pour votre aide précieuse !

A bientôt.

Bonjour alexivdv,

Tu peux peut être découper ton problème pour le simplifier:

Tes courbes se croisent avant même d'avoir atteint la durée de vie d'une lampe, tu peux donc faire les choses suivantes:

1) Partir du principe que tu fais l'intersection entre 2 droites (la pente = la consommation, l'ordonnée à l'origine = le prix initial)

2) A partir de cette première approximation, tu détermines si l'intersection est avant la durée de vie d'une des lampes ou après

3)1) Si avant -> tu as ton résultat

3)2) Si après -> tu refais le calcul en rajoutant un changement de lampe. (mais la première approximation devrait déjà être proche!)

C'est une bonne idée !

Juste quelques points que j'aurais du préciser :

1) je souhaite tracer graphiquement les résultats sur plusieurs cycles de vie

2) sur plusieurs cycles de vie justement, les systèmes peuvent être amenés à se recroiser à plusieurs reprises puisque leur durée de vie, leur coût d'achat et de fonctionnement peuvent varier. Et tout l'intérêt est de connaître le temps de retour DEFINITIF sur investissement (c'est à dire où les courbes ne se croiseront plus au prochaine achat d'une lampe).

Là je comprend plus rien xD

Tu veux simplifier ton problème, en gardant tout ses aspects compliqués xD

Si tu fais une représentation graphique, tu dois tracer tes points.

Si tu traces tes points, une simplification mathématique ne te servira à rien.

Tu mets simplements

cout(t) = (1 + quotient(t,duree_vie)) * prix_lampe + t*cout_horaire

et tu as tes 3 courbes. (ce qui simplifiera ta formule découpée en 10 étapes)

Pour le test de définitivement mieux, je vais cogiter.

Qu'appelles-tu la fonction quotient(t, durée de vie) ? Elle équivaut à quoi ? Je suppose qu'elle doit permettre l'annulation du membre (1 + quotient(t,duree_vie)) lorsque t égale un multiple de la durée de vie du système considéré ?

Si on arrive à donner une formule mathématique de l'évolution du coût de chaque lampe, le problème sera réglé...il suffira de déterminer tous les t (1 ou plusieurs avant ROI définitif) pour lesquels les fonctions s'égalisent...

La formule quotient est la formule de la divsion entière. Sur excel:

=QUOTIENT(numerateur;denominateur)

Si tu es à la 10.000ème heure, que tu ta lampe a une durée de vie de 4.000 heures, tu auras changé ta lampe QUOTIENT(10 000;4 000) fois. QUOTIENT <=> partie entière lors d'une division.

donc le coût, et bien c'est la formule que je t'ai écrit noir sur blanc

c'est le nombre de lampes cumulé

cout(t) = (1 + quotient(t,duree_vie)) * prix_lampe + t*cout_horaire

multiplié par son prix

cout(t) = (1 + quotient(t,duree_vie)) *prix_lampe + t*cout_horaire

+ le prix de la consommation électrique

cout(t) = (1 + quotient(t,duree_vie)) * prix_lampe + t*cout_horaire

Voilà tu as ta formule mathématique. Le problème, c'est que c'est une fonction DISCONTINUE, tu ne pourras PAS faire de résolution mathématique simple.

Ah effectivement ! Merci d3d9x pour tes réponses vraiment! Je ne connaissais pas la fonction et c'est bien plus utile que toutes les étapes par lesquelles je passe.

J'ai cherché mais en vain...n'existe-t-il pas une fonction Excel qui permette de connaître les abscisses pour lesquelles deux fonctions sont égales (en l'occurence, les points d'intersection de leur courbe) ?

Je vous remercie encore

Non malheureusement dans ton cas.

En effet dans ton fichier, tu trouves un point d'intersection des coûts, alors qu'en réalité il n'y en a pas !

Pour faire simple:

à t - ▲t, c1 = 5€ et c2 = 6€

à t, c1 = 7€ (supposons que tu ai changé de lampe) et c2 = 6.01€

Et là ton fichier te dit qu'à ce temps, les couts sont les mêmes !

Il est rigolo ce problème, mais j'ai du mal à comprendre ...

Pourquoi retrouver le moment où les 2 lampes ont le même coûts ?

On fait quoi si les courbes diverges et qu'il y a clairement une lampe qui coûte plus cher ?

Sinon, quand on parle de coût, il ne faut pas représenter l'achat d'une nouvelle lampe comme un coût direct.

Il faut en représenter l'amortissement :

• si la lampe coûte 1000€ à l'installation, mais qu'elle dure 1000 jours, alors elle coûte 1€ par jour.
• au 255ieme jour, on aura certes déjà payé les 1000€, mais elle sera encore valable pour 745jours supplémentaires, on peut donc représenter qu'elle vaut encore 745€, là, pendue au plafond :p

Bref, le coût journalier est linéaire, et soit les coûts sont égaux entre 2 ampoules, soit ils divergent irrémédiablement

On peut toujours représenter l'investissement nécessaire en laissant la totalité du coût de la première installation. (on suppose alors qu'il y aura toujours cette lampe, et que l'on ne récupérera jamais la somme du début)

Alors, dans ce cas, on peut avoir effectivement les droites qui se croisent une fois : précisément au point de ROI de l'investissement initial.

Bon, après, comme dit au début, je crois que je n'ai rien compris au problème :p

Hello Peuwi,

Le problème final est le suivant:

J'ai 2 lampes, à partir de quel moment l'une des lampes sera définitivement plus cher que l'autre (en coût global, c a dire achat + consommation)

A durée de vie égale, si l'une des lampes est plus chère à l'achat ET que sa consommation électrique est supérieure ou égale, cette lampe sera toujours plus cher -> problème résolu

Maintenant si la lampe est plus chère, mais a une consommation moindre -> les choses se compliquent -> recherche d'une méthode de résolution. (il faut prendre en compte 3 paramètres par lampe: le coût d'achat, la consommation, et la durée de vie)

Ce n'est pas parce qu'à un instant T une lampe revient moins cher qu'une autre que ce sera toujours le cas à T+1 (à cause de la durée de vie!!) ->>> On recherche donc à partir de quel instant T une lampe sera définitivement meilleure qu'une autre en terme de coût global.

En regardant le schéma initial donné par alexivdv, tu verras qu'en fonction du temps, l'une des solutions est plus cher que l'autre, puis inversement.

En espérant avoir clarifié les choses =)

d3d9x a écrit :

J'ai 2 lampes, à partir de quel moment l'une des lampes sera définitivement plus cher que l'autre (en coût global, c a dire achat + consommation)

La phrase, interprétée littéralement, demande une résolution strictement égale à la proposition initiale.

Sauf qu'elle n'a aucune justification pratique. J'ai cherché, et j'ai de l'imagination, mais sans trouver aucun cas où une telle formulation a un quelconque intérêt.

Pour choisir ta lampe, tu vas prendre ta décision soit :

1) sur celle qui te coûte le moins cher sur une durée infinie (auquel cas le coût initial n'entre pas en ligne de compte)

2) sur le meilleur investissement, auquel cas il faut faire un calcul de retour sur investissement :

* on considère le coût de l'ampoule la moins chère, on représente le surcoût de l'ampoule haut de gamme, et on mesure le temps au bout duquel il est rentabilisé. Cela permettra d’allouer le budget entre l'ampoule basse consommation, ou changer l'isolation.

3) sur celle qui te coûte moins cher à la cloture budgétaire de l'année x (donc, une date précise), et il faut calculer le point précis sur la courbe dessinée en haut. Sauf que considérant des ampoules - ainsi que tout un tas de truc - la durée d'utilisation n'est qu'un ordre de grandeur, en aucun cas l'assurance qu'à cette date là il n'aura pas été nécessaire de changer. Bref, s'il y a un minimum local, c'est une illusion.

Par ailleurs, baser une décision sur la présence d'un minimum local, de mon point de vue, c'est pratiquement une escroquerie

Dans les deux premiers cas, le coût quotidien est forcément : achat/durée+conso

(ce qui revient à la super formule quotient, mais sans l'arrondi qui n'est qu’illusoire)